1. 导数 (Derivative)：变化率与切线斜率

历史背景：微积分的诞生及其争议

导数的概念源于 17 世纪科学界对瞬时变化的迫切需求，核心是要解决物理学中的瞬时速度和几何学中的曲线切线斜率两大难题。在伽利略和开普勒奠定运动学基础后，如何精确描述物体在某一时刻的速度成为了关键。

艾萨克·牛顿（）于 1665 年前后发展了“流数术”，他将变化的量称为“流量”()，而将变化率称为“流数”()，并用小点符号 来表示。牛顿主要关注物理应用，特别是万有引力理论的数学基础。

几乎同时，戈特弗里德·莱布尼茨（）提出了更具系统性和符号优势的微分概念。他引入了我们今天使用的 （导数）和 （积分）符号，这些符号的简洁性极大地促进了微积分在欧洲大陆的传播和发展。然而，早期微积分建立在无穷小量这一含糊的概念上，直到 19 世纪，奥古斯丁·路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯才通过极限理论，为导数和微分提供了严格的数学定义，彻底解决了“无穷小量”的逻辑争议。

核心交互：割线逼近瞬时变化率

导数的几何定义是切线斜率，它通过割线斜率的极限过程来精确捕获。割线斜率 代表了函数在 区间的平均变化率。当您在图中拖动滑块确定切点 时，图示的割线基于一个固定的微小 。想象一下，当 逐渐趋近于零时，割线就会紧密地“吻合”曲线，最终转化为切线，其斜率即为该点的瞬时变化率。

x = 1.0

观察切线和割线如何在高阶函数 上逼近。

数学定义：

定理与推论：罗尔定理 (Rolle's Theorem)

罗尔定理 (Rolle's Theorem)

罗尔定理是微分中值定理的一个特例。它指出，如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，并且函数在端点处的值相等（），那么在开区间 内至少存在一点 ，使得该点的导数为零：

几何意义是：在函数曲线与水平线交于两点的情况下，曲线在两点之间至少有一个水平切线（即极值点）。

定理演示：微分中值定理 (MVT)

通过下方图表，改变区间端点 和 ，定理保证在 和 之间，一定存在一条与割线平行的切线（即导数值相等）。

a = -3.0 b = 3.0

习题与解析

练习 1.1： 求函数 在 处的导数。

解：首先使用导数基本公式求出一般导数：。这一表达式给出了曲线上任意一点的切线斜率。然后，代入特定点 ，得到 。因此，在该点的切线斜率为 7。

挑战例题：洛必达法则的几何证明与应用

洛必达法则 () 是处理 或 不定式极限的强大工具。其几何原理可以追溯到广义中值定理，即 柯西中值定理。它告诉我们，在接近交点 附近，两个函数 和 的比值 约等于它们切线斜率的比值 。

例题： 计算极限 。当 时，直接代入得到 不定式。

解析：使用洛必达法则，分别对分子和分母求导：。代入 得到 。图表显示 的曲线在原点附近被直线 (斜率为 1 的切线) 完美近似，因此极限为 1。