3. 微分 (Differential)：线性近似与误差

历史背景：从“无穷小”到“线性近似”

在牛顿和莱布尼茨的时代，微分 被视为函数 的“主部”，是比 更高阶的无穷小量。然而，这种对“无穷小量”的操作方式缺乏严格的逻辑基础，被贝克莱主教等哲学家批评为“已故量之鬼魂”。

现代微积分中，微分 被重新定义为线性近似。我们不再将 视为一个无穷小的数，而是将其视为一个任意小的，非零的增量，而 则是函数在切线上对应的变化。这种方法回避了对“无穷小量”的哲学争论，将微分的重点放在了局部线性化和误差估算的强大应用上。这种线性近似在物理建模、数值分析和金融工程中至关重要。

核心交互：线性近似与误差

微分 是基于切线的变化，而 是函数的实际变化。当您拖动 滑块时，观察 和 的差异。这个差异，即误差 ，在 较小时，其大小远小于 本身，证明了线性近似的有效性。

dx = 1.0

当 减小时，红色的误差线 () 会迅速收缩。

数学关系：

定理与推论：泰勒多项式——超越线性近似

泰勒多项式 (Taylor Polynomials) 的定义与应用

线性近似只使用了函数在一点的零阶信息 () 和一阶信息 ()。泰勒多项式则是将这一思想推广，利用函数在同一点的高阶导数来构造多项式，从而在更大范围内逼近原函数。

1 阶泰勒多项式就是线性近似：。

高阶多项式：

通过改变阶数 ，观察高阶多项式 如何更精确地逼近目标函数 。随着阶数增加，泰勒曲线与正弦曲线重合的区域会不断扩大。

n = 3 (3阶)

注：此图是在 处展开的麦克劳林级数（）。

习题与解析

练习 3.1： 利用微分估算 的值。已知 ，取 ，。

解：线性近似的基础是 。

首先求导数：。

在 处，。

微分项：。

近似值：。实际精确值约为 3.004995，误差极小。

深入理解：链式法则的几何解释

链式法则 是复合函数求导的核心规则。在微分的语言中，它具有非常直观的几何意义。如果 随 变化，而 又随 变化，那么 随 的变化率（）就是两个独立变化率的乘积。

我们可以将 和 视为线性近似，代入可得 。这表明， 的微小变化是两个线性过程累积的结果。在实际应用中，例如计算三维空间中曲线的坡度，链式法则将复杂问题分解为多步简单的局部变化率计算。

挑战例题：圆柱体积误差传递与不确定度分析

微分在测量科学中用于不确定度分析（）。如果对圆柱的半径 $r$ 和高 $h$ 的测量都存在 的相对误差，我们如何估算体积 $V$ の最大相对误差？

圆柱体积公式：。首先求全微分：。

解析：将全微分表达式除以 ，得到相对误差：。
最大相对误差是所有相对误差绝对值之和：。由于 且 ，最大相对误差为 ，即 。半径的误差对体积的影响是高度的两倍。