4. 定积分 (Integral)：面积的累加与求和

历史背景：穷竭法、极限与微积分基本定理

积分思想的历史比微分更悠久。古希腊的阿基米德（）使用著名的穷竭法，通过在曲线内部和外部不断画内接和外切的多边形来逼近曲线下方的面积。这本质上就是黎曼和（）和积分极限思想的早期形式。

到了 17 世纪，牛顿和莱布尼茨通过发现微积分基本定理（）实现了数学上的革命。在此之前，求导和求面积是两个独立的、困难的数学问题。FTC 证明了它们是互逆操作，将求复杂的曲线下面积问题，转化为了求导数的逆过程——求原函数的简单代数问题。这使得微积分成为了一个统一且高效的工具。

核心交互：黎曼和逼近面积

定积分的几何意义是函数曲线与轴之间，在区间上的带符号面积。黎曼和通过将区间划分为个小矩形，并对这些矩形面积求和来近似总面积。观察矩形数量增加时，黎曼和如何逼近真实面积。

矩形数量 (): n = 10

数学定义 (黎曼和):

定理与性质：定积分的奇偶性

定积分的奇偶性性质

如果函数在对称区间上连续，利用奇偶性可以简化积分计算：

如果是偶函数（），图像关于轴对称：
如果是奇函数（），图像关于原点对称：

这些性质在物理学（如质心计算）和概率论中非常实用，能显著减少计算量。

定理演示：积分中值定理

积分中值定理 (Mean Value Theorem for Integrals)

该定理是平均值概念在微积分中的体现。如果函数在闭区间上连续，那么在上至少存在一点，使得由高度构成的矩形面积正好等于曲线下方的积分面积。

通过下方图表，观察平均值确定的矩形面积如何精确地与曲线下的积分面积相等。函数在区间上的平均值即为。

平均值 $f_{\text{avg}}$ 形成的矩形（绿色填充区域）与积分（红色曲线下的面积）相等。

f_avg: N/A

习题与解析

练习 4.1： 求定积分的值。

解：根据微积分基本定理，我们首先求出原函数。

然后，计算。

。

。

定积分的值为。

挑战例题：积分的应用：曲线长度 (Arc Length)

定积分是求体积、做功、计算质心和计算曲线长度的核心工具。求函数在区间上的弧长。

弧长公式：

解析：
首先求导数：。
平方并代入公式：。
使用换元法（）进行积分，最终计算得：。