2. 极限 (Limit)：无限逼近的艺术

历史背景：从直觉到严格定义

极限是整个微积分学的基石。早在古希腊，阿基米德在计算圆面积时使用的“穷竭法”，就蕴含了无限逼近的极限思想。然而，在接下来的近两千年里，极限一直依赖于数学家的直觉。牛顿和莱布ニ茨在创立微积分时，使用了含糊的“无穷小量”概念，这导致了逻辑上的不严谨，并引发了著名的“第二次数学危机”。

直到19世纪，数学家柯西 (Cauchy) 首次尝试为极限给出一个更精确的描述，但他仍然依赖于“无限地接近”这类自然语言。最终，德国数学家魏尔斯特拉斯 (Weierstrass) 提出了今天我们所使用的 (Epsilon-Delta) 定义，它完全使用代数不等式来刻画极限过程，彻底消除了对直觉的依赖，为微积分提供了坚实的逻辑基础。

核心交互：探索 $\epsilon-\delta$ 定义

极限的定义在几何上非常直观。它描述的是：对于任意一个极小的正数 (代表 y 轴上的误差范围)，我们总能找到一个正数 (代表 x 轴上的邻域范围)，使得所有在点的 -邻域内的点 (不含本身)，其函数值都落在极限值的 -邻域内。

拖动下方的滑块：尝试缩小的值，观察图中的范围（蓝色区域）是如何相应变化的。无论多小，只要我们能找到一个对应的，就证明了极限的存在。

选择 $\epsilon$ (误差范围): ε = 1.00

函数:

考察点:

极限值:

对于给定的 ε, 找到的 δ ≈ N/A

数学定义：

定理与法则：夹逼定理 (Squeeze Theorem)

夹逼定理 (Squeeze Theorem)

夹逼定理是一个求极限的强大技巧。它指出，如果一个函数被“夹在”另外两个函数和之间，并且在某一点附近，上下两个函数都收敛于同一个极限，那么被夹在中间的函数在该点的极限也必定是。

这个定理最著名的应用就是证明。

习题与解析

练习 2.1： 求极限。

解：直接代入会得到不定式。我们可以通过因式分解来简化表达式。因为当时，，所以，可以进行约分。

现在可以直接代入：。因此极限值为 6。